Dairesel Dalga Kılavuzlarının 2 Boyutlu FDTD Yöntemi İle Modellenmesi

Özet:

2 boyutlu FDTD yöntemi ile WC-94 adlı dairesel dalga kılavuzunun modellemesi gerçekleştirilmiştir. TM ve TE modu için ayrı ayrı yapılan simülasyonlar ile kılavuzun zaman ve frekans cevapları elde edilmiştir. Problem uzayı büyük ve küçük hücrelerden oluşan ızgaralara bölünerek mod kesim frekanslarının doğrulukları karşılaştırılmıştır.

1. Giriş

Elektromanyetik problemlerin çözümü için sayısal yöntemler geliştirmek ve mevcut yöntemlerin doğruluklarını iyileştirmek önemli bir çalışma konusudur. FDTD yöntemi üzerinde yapılan iyileştirmelerden en önemlisi ızgaralama teknikleri ile ilgilidir. Literatürde büyük, küçük ve alt ızgaralama konusunda pek çok çalışma bulunmaktadır [1-2]. Özellikle dikdörtgen ve dairesel kesitli dalga kılavuzlarına ait modellemeler, geliştirilen FDTD algoritmalarının doğruluğunun test edilmesinde önemli bir avantaj sağlamaktadır.

2. Dairesel dalga kılavuzu

şekil 1’de görülen dairesel kesitli dalga kılavuzu mikrodalga bandında pek çok uygulamada kullanılmaktadır. Bir dairesel dalga kılavuzunun analizi, kılavuzun dairesel kesitinde kutupsal koordinatlarda iki boyutlu Helmholtz denkleminin çözümünü gerektirir. Çözüm, Bessel fonksiyonlarını ve köklerini içerir. TM modu için kesim frekansları knr ile, TE modu için k’nr ile orantılıdır [3].

Image

Şekil 1. Dairesel kesitli silindirik dalga kılavuzu

Denklem 1’den görüldüğü gibi, kılavuzda iletilebilecek elektromanyetik dalgaların mod kesim frekansları, kılavuzun yarıçapına, knr ve k’nr katsayılarına bağlıdır.

Image (1)

3. FDTD Simülasyonu

2 boyutlu FDTD simülasyonu için öncelikle modellenecek yapının boyutlarına uygun bir problem uzayı seçilir. Şekil 2’den görüldüğü gibi yapı, birim Yee hücrelerinden oluşan çok sayıda ızgaraya bölünür. Kaynak olarak, darbe süresi maksimum frekansa göre ayarlanmış Gauss darbesi kullanılır. Gauss darbesi kılavuz içerisinde bir noktaya uygulanır ve gözlem noktası olarak seçilen başka bir noktadan ilgilenilen alan bileşeni değerleri simülasyon süresi boyunca kaydedilir. FDTD döngüsü içerisinde sınır şartları da dikkate alınarak elektrik ve manyetik alan bileşenleri şekil 3’deki zaman akış diyagramına göre iteratif olarak hesaplanır. Simülasyon süresi, hızlı Fourier dönüşümünde yeterli frekans çözünürlüğünü sağlayacak kadar uzun tutulur. Zaman cevabının Fourier dönüşümü alınarak dairesel dalga kılavuzunun frekans cevabı elde edilir.

Image

Şekil 2. FDTD problem uzayı

Image

Şekil 3. FDTD zaman akış diyagramı

Bu çalışmada, yarıçapı 11.915mm olan WC-94 adlı dairesel dalga kılavuzunun 2 boyutlu modellemesi gerçekleştirilmiştir. Kılavuz, X bandında (8-12 GHz) kullanılmakta olup kılavuzun dominant modu 7.377 GHz frekanslı TE11 modudur. Modelleme sırasında sayısal dispersiyona neden olmamak için hücre boyutu (Δx) ile en küçük dalga boyu arasındaki oranı uygun şekilde seçmek gerekir. Bu oran, problem uzayının tamamen büyük ızgaralara bölündüğü durumda da istenen şartı sağlamalıdır. Ayrıca, zaman adımı (Δt), Courant kararlılık şartı gereğince uygun şekilde seçilmelidir [4].

2 boyutlu modellemede alan bileşenlerinin yerleşimi TE ve TM modları için farklıdır. Bu durum şekil 4’de görülmektedir. Dairesel kılavuzun dış kenarlarında uygun sınır şartları tanımlayarak elektrik alanın teğetsel bileşenlerini sıfıra eşitlemek gerekir. Böylece kılavuzun dış duvarları mükemmel iletken tabaka (PEC) ile kaplanmış olur.

Image

Image

Şekil 4. a) TE modu bileşenleri b) TM modu bileşenleri

Problem uzayının 20×20 hücreden oluştuğu büyük ızgaralama durumu için FDTD simülasyonuna ait parametreler şöyle seçilmiştir: Gauss darbesinin genişliği 66 ps, Δx=Δy=1.3238 mm, Δt=2.206 ps ve simülasyon süresi 10000Δt. Şekil 5a’da TM ve TE modu için elde edilen frekans cevapları görülmektedir. Şekil 5b’de ise 80×80 hücreden oluşan küçük ızgaralama durumu için frekans cevapları görülmektedir. İkinci simülasyonda kullanılan parametreler şöyledir: Δx=Δy=0.3309 mm, Δt=0.551 ps ve simülasyon süresi 40000Δt.

Image

a) Büyük ızgaralama (Δx≈λ/4)

Image

b) Küçük ızgarama (Δx≈λ/18)

Şekil 5. Büyük ve küçük ızgaralama için frekans cevapları

4. Sonuçlar

Tablo 1 ve 2’de FDTD simülasyonuna ait sonuçlar görülmektedir. Hücre boyutunun en küçük dalga boyunun yaklaşık 4’de birine eşit olduğu büyük ızgaralama durumunda FDTD sonuçları analitik sonuçlara yakın elde edilmiştir. Hücre boyutunun en küçük dalga boyunun yaklaşık 18’de birine eşit olduğu küçük ızgaralama durumunda ise dairenin eğrisel kısımları daha hassas modellendiğinden çok daha doğru sonuçlar elde etmek mümkün olmuştur. Örneğin, kılavuzun dominant modu olan TE11 modu için kesim frekansı büyük ızgaralama ile %1.7 hatalı hesaplanırken, küçük ızgaralama ile hata oranı %0.135 gibi düşük seviyelerde kalmıştır.

TE modları k’nr Mod kesim
frekansı (GHz)
(Analitik)
Rezonans frekansı (GHz)
Büyük ızgaralama
Δx≈λ/4
Küçük ızgaralama
Δx≈λ/18
TE11 1.841 7.377 7.251 7.387
TE21 3.054 12.238 12.191 12.282
TE01 3.832 15.355 15.228 15.364
TE31 4.201 16.834 16.134 16.723
TE41 5.317 21.306 20.032 21.029
TE12 5.331 21.362 21.120 21.392

Tablo 1. TE modu için simülasyon sonuçları

TM modları knr Mod kesim
frekansı (GHz)
(Analitik)
Rezonans frekansı (GHz)
Büyük ızgaralama
Δx≈λ/4
Küçük ızgaralama
Δx≈λ/18
TM01 2.405 9.637 9.880 9.744
TM11 3.832 15.355 15.726 15.500
TM21 5.136 20.581 21.301 20.848
TM02 5.520 22.120 22.525 22.343

Tablo 2. TM modu için simülasyon sonuçları

Kaynaklar

[1]. Epp L.W., Hoppe D.J. ve Kelley D.T., “A TE/TM modal solution for rectangular hard waveguides”, IEEE Trans. on Microwave Theory and Techniques, 54(3), s.1048-1054, 2006.
[2]. Denecker B., Olyslager F., Knockaert L. and Zutter D. D., “Generation of FDTD subcell equations by means of reduced order modeling”, IEEE Trans. on Antennas and Propagation, 51(8), s.1806-1817, 2003.
[3]. Inan U.S. ve Inan A.S., Electromagnetic Waves, Printice Hall, A.B.D., 2000.
[4]. Taflove A., Computational Electrodynamics the Finite-Difference Time-Domain Method, Boston, 1995.

Hazırlayanlar :

Yavuz EROL
Hasan H. BALIK

İlginize Çekebilir

FDTD ve TLM Metodlarının Dikdörtgen Kesitli Dalga Kılavuzlarının Analizi Açısından Karşılaştırılması

Özet Elektromanyetik problemlerin çözümünde kullanılan güçlü sayısal tekniklerden olan Zaman Domeninde Sonlu Farklar (FDTD) metodu …